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\setCJKmainfont[BoldFont=SimHei,ItalicFont = SimSun]{SimSun}

\title{\heiti\zihao{2} 习题14.1}
\author{中书君}
\date{\today}

\begin{document}
\maketitle
\section{证明:对任意集合$E$,其内部$E^{\circ}$是开集.}
\begin{proof}
    记$E$的补集为$E^{c}$,补集的内部记为$(E^{c})^{\circ}$,边界记为$\partial E$.$(E^{c})^{\circ}\bigcup \partial E$为闭集,所以$(E^{c})^{\circ}\bigcup \partial E$的补集$E^{\circ}$为开集.
\end{proof}

\section{证明:$\mathbb{R}^{n}$中的有限点集为闭集}
\begin{proof}
    记点集为$A$,只需要证明$\mathbb{R}^{n}/A$为开集即可.\par 
    显然对$\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R}^{n}/A,\exists\delta > 0$s.t.$U({\boldsymbol{x}},\delta)\in \mathbb{R}^{n}/A$.所以其为开集.从而$A$为闭集.
\end{proof}

\section{判断下列平面点集是开集、闭集、有界集中的哪类,并分别指出其聚点和边界点.}
\subsection{$\{(x, y) \mid x y=0\}$}
其为闭集,其为无界集,聚点与边界点为$\{(x, y) \mid x y=0\}$.

\subsection{$\left\{(x, y) \mid y>x^{2}\right\}$}
其为开集,无界集,聚点为$\left\{(x, y) \mid y\geqslant x^{2}\right\}$,边界点为$\left\{(x, y) \mid y=x^{2}\right\}$.

\subsection{$\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}=1\right\}$}
其为闭集,有界集,聚点和边界点为$\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}=1\right\}$.

\subsection{$\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$}
其为闭集,有界集,聚点为$\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$,边界点为$\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} = 1\right\}$

\section{证明以下内容}
\subsection{$n$ 维开矩形 $\left\{\boldsymbol{x}  \mid  |x_{i}-a_{i}|<d_{i}, i=1,2, \cdots, n\right\}$ 和 $n$ 维开球 \\$\left\{\boldsymbol{x}  \mid \sum\limits_{i=1}^{n}\left(x_{i}-a_{i}\right)^{2}<r^{2}, i=1,2, \cdots, n\right\}$ 都是开集.}
\begin{proof}
    矩形:对于$\forall \boldsymbol{x}\in E$,由于每个分量$x_{i}$,都能找到$\delta_{i}$,s.t.$(x_{i}-\delta,x_{i}+\delta)$在$[a_{i}-d_{i},a_{i}+d_{i}]$内部,所以取$\min\{\delta_{i}\}$,即可得存在$\boldsymbol{x}$的方形$\delta$邻域在$E$中.所以其为开集\par
    球形:对于$\forall \boldsymbol{x}\in E$,由于$||\boldsymbol{x}||<r$,所以总存在$\delta>0$,$U(\boldsymbol{x},\delta)$包含于$E$,显然开球是开集.
\end{proof}

\subsection{$n$ 维闭矩形 $\left\{\boldsymbol{x}  \mid  |x_{i}-a_{i}|\leqslant d_{i}, i=1,2, \cdots, n\right\}$ 和 $n$ 维闭球 \\$\left\{\boldsymbol{x}  \mid \sum\limits_{i=1}^{n}\left(x_{i}-a_{i}\right)^{2} \leqslant r^{2}, i=1,2,\cdots,n\right\}$都是闭集}
\begin{proof}
    矩形:补集$\left\{\boldsymbol{x} \mid  |x_{i}-a_{i}|> d_{i}, i=1,2, \cdots, n\right\}$类似上问易知为开集,所以 \\$\left\{\boldsymbol{x} \mid  |x_{i}-a_{i}|\leqslant d_{i}, i=1,2, \cdots, n\right\}$ 是闭集.\par
    闭球:类似上问,易知补集$\left\{\boldsymbol{x} \mid \sum\limits_{i=1}^{n}\left(x_{i}-a_{i}\right)^{2} > r^{2}, i=1,2,\cdots,n\right\}$为开集,从而\\$\left\{\boldsymbol{x} \mid \sum\limits_{i=1}^{n}\left(x_{i}-a_{i}\right)^{2} \leqslant r^{2}, i=1,2,\cdots,n\right\}$为闭集.
\end{proof}

\section{证明聚点的以下性质:}
\subsection{点 $a$ 为 $E$ 的聚点当且仅当以 $a$ 为球心的任何球中 $B_{\varepsilon}(a)$ 都有 $E$ 的无限多个点.}
\begin{proof}
    若以 $a$ 为球心的任何球中 $B_{\varepsilon}(a)$ 都有 $E$ 的无限多个点,则显然在$\boldsymbol{x}$的$\delta$邻域$U(x,\delta)$中有异于$\boldsymbol{x}$的点.\par
    当$a$为$E$的聚点时,取$\delta_{1}=1$,其中有一个点$\boldsymbol{x_{1}}$在$\boldsymbol{x}$邻域内,且其异于$\boldsymbol{x}$.取$\delta_{2}=||\boldsymbol{x}_{1}||$.依次类推,取$\delta_{n}=||\boldsymbol{x}_{n-1}||$.所以可见在以 $a$ 为球心的任何球中 $B_{\varepsilon}(a)$ 都有 $E$ 的无限多个点.\par 
    所以点 $a$ 为 $E$ 的聚点当且仅当以 $a$ 为球心的任何球中 $B_{\varepsilon}(a)$ 都有 $E$ 的无限多个点.
\end{proof}


\subsection{点 $a$ 为 $E$ 的聚点当且仅当可从 $E$ 中选出互不相同的点组成的点列 $\left\{\boldsymbol{x}_{k}\right\}$ 满足 $\lim\limits_{k \rightarrow \infty} \boldsymbol{x}_{k}=a$}
\begin{proof}
    当可从 $E$ 中选出互不相同的点组成的点列 $\left\{\boldsymbol{x_{k}}\right\}$ 满足 $\lim\limits_{k \rightarrow \infty} \boldsymbol{x_{k}}=a$时,取$\delta_{n}=\dfrac{1}{n}$,由条件,在任意小的邻域内都能找到与$\boldsymbol{x}$不同的点.($\delta<1$时满足则更大的邻域内一定也满足),所以$a$为聚点.\par 
    当$a$为聚点时,取上问的$\boldsymbol{x_{i}}$,即可得到互不相同的点列$\{\boldsymbol{x_{k}}\}$满足$\lim\limits_{k \rightarrow \infty} \boldsymbol{x_{k}}=a$.\par 
    所以点 $a$ 为 $E$ 的聚点当且仅当可从 $E$ 中选出互不相同的点组成的点列 $\left\{x_{k}\right\}$ 满足 $\lim\limits_{k \rightarrow \infty} \boldsymbol{x}_{k}=a$
\end{proof}

\section{证明:集合 $E$ 是闭集当且仅当 $E=\bar{E}$.}
\begin{proof}
    当$E$是闭集时,$E^{c}$是开集,而$\forall \boldsymbol{x}\in E^{c},\exists \delta>0$,s.t.$U(\boldsymbol{x},\delta)\in E^{c}$,从而若$\boldsymbol{x}$是$E$的聚点则其不可能在$E^{c}$中,因为取足够小的邻域,其内部的点一定属于$E$而不属于$E^{c}$,所以$E^{c}$中没有$E$的聚点.从而$E'\in E$,所以$\boldsymbol{E}=\bar{\boldsymbol{E}}$.\par
    当$E=\bar{E}$时,$E'\in E$,所以对$\forall \boldsymbol{x}\in E^{c},\exists \delta$,s.t.$U(\boldsymbol{x},\delta)\in E^{c}$,从而$E^{c}$是开集.所以$E$是闭集.
\end{proof}

\section{证明:$\mathbb{R}^{n}$中的开球是区域.}
\begin{proof}
    已经证明开球是开集,只需要证明开球是道路连通的即可.对$\forall\boldsymbol{x}',\boldsymbol{x}''\in E$,取路径
    $$
    \boldsymbol{f}(t)=\left\{\begin{array}{ll}
        t\boldsymbol{x}' &(1\geqslant t>0)\\
        -t\boldsymbol{x}'' &(0>t\geqslant -1)\\
        0 &(t=0)
    \end{array}\right.
    $$
    即可,其显然是连续的函数,所以开球道路连通,所以是区域.
\end{proof}

\end{document}